Usannsynlige sannsynligheter

Utgangspunktet var at forskere lenge har påstått at det ikke finnes en «hot hand» i basketball, det vil si at det ikke er noen høyere sannsynlighet for at en spiller skårer når han har skåret på de foregående skuddene. Når publikum og spillere er overbevist om en «hot hand», så skyldes det en menneskelig vurderingsskjevhet – sa forskerne.

Så viser det seg altså at forskerne tok grundig feil – påpekt av Miller og Sanjurjo i november-nummeret av Econometrica [1]. Forskerne hadde antatt at dersom det er 50 prosent sannsynlig å skåre per skudd, så betyr det at vi like ofte vil se at en spiller får skåring-skåring-bom som skåring-skåring-skåring. Overraskende nok vil vi, gitt 50 prosent sannsynlighet å skåre, måtte forvente å se flere skåring-skåring-bom enn skåring-skåring skåring! [2]

Ta for eksempel en rekke med ti skudd, der sannsynligheten for å treffe per skudd er 50 prosent. Forventet andel skåringer etter å ha skåret på de to foregående skuddene er ikke 50 prosent, som det er naturlig å tro, men kun ca. 37 prosent! Dette betyr at dersom mer enn 37 prosent av skuddene etter to foregående skåringer er skåring, så har vi en «hot hand». Dette endrer ikke på det faktum at dersom det er 50 prosent sannsynlig med skåring, og en spiller står der og skal skyte, så vil vedkommende treffe halvparten av gangene. Poenget er at vi må opp i en sannsynlighet på godt over 50 prosent (rundt 63 prosent) for at en skåring blir fulgt opp av en ny skåring, for at skåring-skåring-skåring skal opptre like hyppig som skåring-skåring-bom i en rekke på ti skudd.

Om du er forvirret etter å ha lest dette, så er du i godt selskap. Dette er ikke intuitivt, og smarte forskere har altså ikke skjønt dette før nå. Det viktige i situasjonen er at vi ser på mange kortere rekker av utfall, for eksempel hundre rekker på ti skudd hver, og ser hvor ofte kortere sekvenser opptrer.

For å illustrere dette, anta at du kaster mynt (M) og kron (K) en rekke ganger. Det er like sannsynlig å få MK som KK på de to første kastene. Det er også slik at det ikke endrer på muligheten til å få K dersom du fikk M i foregående kast. Men, det er likevel hele tre ganger mer sannsynlig å se KM før MM og mer enn 32 ganger mer sannsynlig å se sekvensen KMMMM før MMMMM. Og, i en rekke på ti myntkast er det 56 prosent sannsynlig å se flere KM enn MM.

Praktisk konsekvens av den nye innsikten er ikke opplagt, men det finnes kanskje noen «gratis lunsjer». Anta for eksempel at det er ca. 50-50 om en aksje stiger eller synker fra en måned til neste. Aksjerådgiverne A og B gir månedlige råd. A gir alltid rådet om at en aksje som har gått opp vil gå ned og en aksje som har gått ned vil gå opp. B gir alltid rådet at en aksje som går opp vil fortsette opp og en aksje som har gått ned vil gå ned. A og B vil i gjennomsnitt treffe med rådene sine 50 prosent av gangene, det vil si treffe like mange ganger totalt sett. A vil derimot ha 56 prosent sannsynlighet for at han gir flere gode råd enn B i løpet av de første ti månedene. Kanskje kan dermed innsikten utnyttes til å kapre investorer?

Innsikten gir også bedre forståelse for hvorfor vi ofte (feilaktig eller ikke) tror at det er mer sannsynlig at noe vil endre seg etter at vi har observert mange ganger med det samme utfallet. Vi vil, selv med 50-50 sannsynlighet for to utfall, faktisk ha større sannsynlighet for å ha observert en endring enn mer av det samme.

Fortsatt forvirret eller tvilende? Les artikkelen til Miller og Sanjurjo, eller simuler utfallene selv!

[1] Miller and Sanjurjo, Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, November 2018.[2] Dette tilsvarer at man i en rekke på for eksempel ti myntkast må forvente å få færre mynt-mynt-mynt enn mynt-mynt-kron, samtidig som sannsynligheten for å få mynt og kron for hvert kast er 50-50.